第28章 最强同理可证（1/2）

徐川证明孪生素数猜想的论文引发的震动尚未平息，数学界惊魂未定之际，又一波更猛烈的思想海啸已从哥廷根黎曼庄园奔涌而来。这一次，不再是单一猜想的攻克，而是一场令人瞠目结舌的、堪称“系统性收割”的学术闪电战。

在《艾莎学派期刊》最新一期的在线优先发表栏目中，出现了徐川的第二篇论文，标题平实却蕴含着石破天惊的力量：《论有界素数对的无穷性：一个统一的几何化证明框架》。与上一篇攻克孪生素数猜想的、充满了具体构造和精细估计的长篇论证不同，这篇论文的正文部分，竟然只有短短三页！

然而，正是这短短三页纸，在数学界掀起了远比上一篇论文更为剧烈的风暴。论文的结构极其精炼：

第一页，简要回顾了在证明孪生素数猜想（间隙为2的素数对）时建立的核心几何框架：即通过精心构造的函子，将自然数中的素数对 (p, p+2k) 与某个特定的、无穷维的晴子流形上长度为 L(k) 的闭测地线建立一一对应。并再次强调了该对应关系的核心依据：源于该流形所具有的、由学派前辈（特别是中森晴子、德利涅等人）早已深入研究并严格证明的一系列深刻几何与拓扑不变量（如非正曲率性、某种对称性、特定上同调群的消失等），这些性质保证了该对应函子的良定性、单射性以及渐近稠密性。这些性质在论文中并未重新证明，而是直接引用了学派核心文献[Grdi84], [har90], [Zhao10] 等（这些编号对应着德利涅关于特征值估计、中森晴子关于辛流形动力系统、赵小慧关于万有流形范畴的奠基性工作）。

第二页，论文列出了数个困扰数论界多年的着名猜想：

表亲素数猜想：是否存在无穷多对素数 (p, p+4)？

性感素数猜想：是否存在无穷多对素数 (p, p+6)？

波利尼亚克猜想（弱形式）：是否对所有偶数k，都存在无穷多对素数 (p, p+k)？（针对几个小的、具体的k值）

其他几个更冷门但长期未解决的有界间隙素数对猜想。

第三页，也是让所有读者倒吸一口冷气的部分。在列出了上述猜想之后，论文没有进行任何新的、复杂的推导或估计，而是直接写下了以下一段话：

“证明（proof）：”

“由本论文第一节所述的对应函子，以及参考文献[1, 7, 12, 15] 所确立的晴子流形的几何性质（特别是其拉普拉斯算子谱的绝对连续性与无间隙性在特定能带区的成立），可知，素数对 (p, p+2k) 的无穷性问题，等价于流形上长度在区间 [L(k)-e, L(k)+e] 内的闭测地线的集合的渐近密度是否大于零的问题。”

“鉴于我们已经在前文（指孪生素数猜想的论文）中，通过详细分析该流形上长度谱的分布函数 的渐近行为（具体推导见前文定理3.7及其推论），严格证明了当 k=1 时，该密度为正。而审视整个证明过程，其核心依赖于流形的整体几何约束（如负曲率、体积增长、谱隙下界等），这些约束对于不同的有限间隙 2k 是一致成立的。改变间隙 2k，仅对应于改变所考察的闭测地线的长度阈值 L(k)，该阈值是 k 的连续函数，且当 k 有限时，L(k) 也有限。”

“因此，将前文证明中所有关于长度尺度 L(1) 的估计，平行替换（parallel rept）为相应的 L(k)，并注意到流形的几何性质在有限尺度变换下具有均匀性（unifority），我们立即可得，对于任意有限的、正的偶数 2k，流形上长度在 [L(k)-e, L(k)+e] 区间内的闭测地线集合的渐近密度同样大于零。”

“由对应函子的忠实性，这直接蕴含了存在无穷多对形如 (p, p+2k) 的素数。”

“故，上述所列猜想（指表亲素数、性感素数等），皆已得证。”

“证明毕。”

在这段石破天惊的“证明”之后，论文真正意义上的“正文”就结束了。后面附上了详细的参考文献，其中大部分是艾莎学派过去三四十年间在几何分析、动力系统、辛拓扑领域的核心成果。整篇论文，新证明的部分几乎为零，其威力完全建立在对已有理论框架的极致运用和对问题本质的深刻洞察之上。

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