第2章 一个目标，两个分支（2/2）

第二分支：离散复分析

“这个分支，”塞尔伯格的语气中带上一丝他自己擅长的领域所特有的冷冽锐气，“旨在深耕离散领域本身的分析工具。它部分受到布斯等人工作的启发，但我们的目标更为聚焦和激进。我们要发展一套直接在离散对象（如素数序列、算术函数）上成立的、与经典复分析同样强大的‘解析’理论。这包括严格定义离散版本的柯西-黎曼方程、柯西积分定理与公式，并研究离散解析函数的值分布、奇点与变换性质。”

他着重强调了这一分支的意义：“这个分支的目的，并非取代几何化，而是强化我们的‘地面部队’。当‘流形法’从高空进行战略测绘和轰炸时，‘离散复分析’将提供最精锐的地面侦察和巷战武器。它可以用来直接处理数论中产生的、尚未被几何化的具体问题，提供精细的、可计算的估计，并为最终将这些问题‘提升’到连续几何层面，提供坚实的跳板和检验标准。”

方法论：双管齐下

塞尔伯格在两条分支之间画上双向箭头，并写下：

方法论：流形法与圆法配合，几何与分析双管齐下。

“这两个分支，绝非割裂。”他坚定地阐述其协同战略，“解析拓扑动力学为我们提供宏观的、定性的、揭示本质的框架（‘为什么’）；而离散复分析则为我们提供微观的、定量的、攻坚具体的工具（‘怎么样’）。”

“具体而言，”他举例说明，“当我们用‘流形法’研究一个L函数时，其‘艾莎流形’的拓扑可能会预言零点分布的主项。而‘离散复分析’则可以发展出强大的工具，来精确计算这个主项，并严格控制误差项，从而验证几何预言，甚至发现几何框架尚未捕捉到的精细结构。”

“同时，我们绝不抛弃哈代与李特尔伍德留下的宝贵遗产——圆法。”塞尔伯格明确表示，“圆法，作为精密分析艺术的巅峰，将被融入我们的工具箱，特别是在‘离散复分析’分支中，作为处理指数和与渐近分析的核心技术之一。我们要做的是融合与超越，而非排斥。”

学派的特质与路径依赖

塞尔伯格这番纲领性的布局，清晰地勾勒出艾莎学派在第三代的独特学术品格与不可避免的路径依赖。

极度侧重于几何化ζ函数：学派的核心资源与最优秀的智力，将坚定不移地投入到为L函数寻找“几何化身”这一宏大事业中。这使他们站在了探索数学统一性的最前沿，但也意味着他们将大量的精力投入到尚未被完全构造出来的、甚至其存在性都仍是猜想的“对象”的研究上。这是一种基于深刻信念的、高风险高回报的学术冒险。

在解析数论上的成功：由于对分析工具的极致重视（融合圆法并开创离散复分析），学派在传统的解析数论领域，如素数分布、哥德巴赫猜想弱形式、算术数列中的素数问题等方面，继续取得辉煌成果。塞尔伯格的“正比例”定理本身就是明证。他们将这些问题的研究，视为检验新方法和为最终目标积累力量的必经之路。

对代数数论的相对忽视：这一纲领也显露出学派的一个显着特点——对代数数论（特别是类域论、代数数域的算术性质）的关注度相对较低。他们的视角，始终是函数论的、分析的、几何的。他们试图从微积分的连续世界和流形的几何世界来理解数论，而非从代数扩张、理想类群等离散的、代数的结构入手。这并非出于轻视，而是源于其学术基因——从黎曼的复分析到艾莎的几何化，再到外尔的李群表示论，他们的工具箱和思维方式，天然地偏向于连续与对称性。这使他们与当时也在蓬勃发展的、以阿廷、韦伊等人为代表的、从代数几何和类域论角度进攻黎曼猜想的路径，形成了有趣的、互补的平行发展。

当塞尔伯格阐述完毕，会议室陷入了沉思。这份纲领，既雄心万丈，又脚踏实地；既继承了学派的灵魂，又注入了新的活力。它标志着艾莎学派从一个由哲学愿景和大师魅力凝聚的团体，正式转变为一个目标明确、路径清晰、方法论协同的、高效的现代学术引擎。

零点的未尽之路，在塞尔伯格的执掌下，不再是模糊的探索，而是被清晰地标记为两条并行的、相互支援的战略公路。一条公路通向高维的几何空间，试图从宇宙的尺度俯瞰真理；另一条公路则夯实脚下的离散基石，用极致的精密丈量每一步前进的距离。而这两条路的唯一交汇点与终点，便是那座名为黎曼猜想的、光芒万丈而又遥不可及的巅峰。

新的时代，在新的纲领下，开始了全力冲刺。

（第三卷上篇 第二章 终）