第10章 裂 隙（1/2）
第十章 裂 隙
盛夏的蝉鸣在梧桐叶间做最后的挣扎，声嘶力竭，却难掩季节更迭的脚步。科大校园里，暑假的气息早已被紧张的研究氛围驱散。对317宿舍的年轻人们而言，时间不再是线性的流淌，而是被切割成一个个项目节点、代码运行周期、实验测量轮次、以及导师约定的汇报日期。每个人都像上了发条的齿轮，在自己选定的轨道上高速旋转，试图在既定的节奏中，捕捉那一丝可能带来突破的灵光，或是至少，不被甩出轨道。
李叶的生活进入了理论推导与数值验证深度交织的“双螺旋”模式。白天的大部分时间，他沉浸在辅助场平均场和低能有效理论的数学世界中。草稿纸和笔记本上，布满了复杂的公式、积分符号、以及不断被划掉重写的推导步骤。他成功地在忽略阻挫的简化模型中，得到了平均场方程的非平庸数值解，证实了交错磁场确实可以“诱导”出非零的配对场期望值，并且这种期望值呈现出空间调制，在强磁场区域配对更强，直观上支持“二聚体”倾向。这给了他初步的信心。
然而，将涨落积分回去，得到低能有效作用量的过程，则充满了陷阱。他需要围绕平均场解展开，计算高斯涨落行列式，然后追踪出对低能物理有贡献的软模。这个过程涉及复杂的泛函积分和矩阵对角化，他不得不反复查阅场论教材和文献，学习如何处理有空间调制背景下的涨落。在“静默连接”的帮助下，他能够快速掌握技术细节，但计算本身的繁琐和容易出错，仍然消耗着他大量的精力。常常为了一个符号的正负、一个积分的收敛性，要反复检查推导数遍。
与此同时，他也在加紧分析新的DMRG动力谱数据。他将从简化模型平均场计算中初步猜测的 Luttger 参数 K 的范围，代入标准 Luttger 液体理论预言的关联函数幂律衰减形式，与DMRG计算得到的实际关联函数进行拟合比较。结果喜忧参半：在某些参数区间，拟合得相当不错，幂律指数与猜测的 K 值大致吻合；但在另一些参数区间，特别是阻挫较强时，拟合效果很差，关联函数呈现出更复杂的衰减行为，甚至带有振荡。
“涨落修正，或者阻挫诱导的拓扑项，可能改变了简单的 Luttger 液体行为。”李叶在实验记录中分析道，“平均场近似过于粗糙，可能漏掉了关键的低能模式，或者 Luttger 参数本身是依赖于波矢 k 的？” 这迫使他回头重新审视理论推导，考虑是否需要在有效作用量中引入更高阶的项，或者用更非微扰的方法来处理阻挫的影响。理论预言的不足，反过来为数值分析提供了更具体的目标：他需要更精确地测量低能激发谱的精细结构，看看是否能分辨出不同的激发分支，或者是否存在能隙。
这种理论猜想与数值证据之间的不断对话、相互修正，构成了李叶研究的主旋律。进展是缓慢的、螺旋式上升的，每一次小的领悟，都建立在对无数次失败尝试的反思之上。他开始撰写论文的初稿，试图将现有的数值结果、初步的平均场分析、以及基于 Luttger 液体猜想的物理图像整合起来。写作的过程异常痛苦，因为他必须清晰地陈述哪些是坚实的数值结果，哪些是基于这些结果的合理猜想，哪些是尚待证实或可能被证伪的理论尝试。他必须诚实面对工作中的不完美和未解之处，这种诚实，有时比得到一个漂亮的结果更让人煎熬。
刘逸那边的进展则呈现出不同的节奏。与张量网络博士后陆云峰的初步合作，在谨慎的乐观中推进。陆云峰利用无限 projected entangled-pair states (iPEPS) 方法，对刘逸的二维阻挫Z2规范场耦合自旋子模型进行了小规模的计算。初步结果表明，在某些参数区域，系统的基态能量、近邻自旋关联函数与刘逸平均场计算的结果大致趋势相符，这给了刘逸不小的鼓舞。然而，在另一些参数区域，特别是刘逸理论预言可能出现新不稳定性的区域，数值结果显得比较模糊，或者呈现出复杂的竞争，难以明确判定。
“iPEPS 方法本身在捕捉某些高度纠缠的量子自旋液体相时，可能需要非常大的 bond dinsion 才能收敛，计算量很大。”陆云峰在邮件中解释道，“而且，你的模型中包含阻挫和规范场，基态可能接近简并，或者具有拓扑简并，这对张量网络优化也是挑战。我需要更多时间优化算法，尝试更大的 bond dinsion。”
刘逸理解其中的困难。数值模拟，尤其是处理强关联二维系统，从来不是一蹴而就的。他一方面继续与陆云峰保持沟通，提供更详细的理论预期，帮助对方理解物理图像，以便更有针对性地进行数值搜索；另一方面，他按照方文教授的指导，开始系统地用随机相位近似（RPA）分析规范涨落可能诱导的集体不稳定性。
RPA计算比之前的一圈图修正更为复杂，它涉及到计算规范场的极化率 bubble 图，然后将其代入Dyson方程，得到重整化的规范场传播子。不稳定性出现在重整化传播子出现极点（即发散）时。这需要计算复杂的费曼图积分，并自洽地求解方程。刘逸再次被淹没在繁复的代数中，但他已经逐渐习惯了这种强度。推导、编程、调试、分析结果……周而复始。他偶尔会和李叶交流场论技术上的心得，比如如何处理发散积分，如何数值求解自洽方程。两人虽然模型不同，但在场论技巧上有很多共通之处，这种交流往往能互相启发。
方文教授对刘逸的进展保持着密切关注。每周的讨论，刘逸都需要汇报新的推导结果和遇到的困难。方教授依然严厉，会尖锐地指出推导中的漏洞、近似的合理性、以及物理解释的模糊之处。但刘逸能感觉到，导师的态度在发生微妙的变化。批评依然存在，但不再仅仅是斥责，更多是建设性的、引导式的提问。有时，当他提出一个不错的想法，或者解决了一个技术难点时，方教授甚至会微微点头，简短地评价一句“有进步”。这对刘逸而言，已是莫大的鼓励。他逐渐明白，方教授的严格，并非针对他个人，而是源于对研究工作本身严谨性的极高要求。当你展现出与之匹配的努力和潜力时，你就能赢得他的尊重和指导。
张海峰依然在他那片名为“负符号问题”的沼泽中艰难跋涉，但似乎，在无尽的黑暗摸索中，前方终于出现了一丝极其微弱的光亮。在经历了无数次复 Langev 方法的不稳定和错误结果后，他将目光转向了另一个更为复杂、但也理论上更严格的方法： Lefschetz 硫柱 (thible) 方法。这个方法的核心思想，是将原本在实轴上进行、因快速振荡而导致符号问题的路径积分，通过解析延拓，变形到复空间中的稳定流形（即 Lefschetz 硫柱）上进行。沿着这些硫柱，被积函数的相位变化平缓，从而缓解甚至消除符号问题。
然而，实现这一想法异常困难。首先，需要找到被积函数（即作用量）在复空间中的临界点（即梯度为零的点）。对于多变量复杂作用量，这本身就是一个高维非线性方程的求解问题。其次，需要从这些临界点出发，构造出对应的稳定流形（硫柱），这涉及到解一组常微分方程（梯度下降流方程）。最后，还需要计算沿这些流形积分的雅可比行列式，并处理多个硫柱贡献的叠加（如果存在多个相关临界点的话）。
张海峰几乎是硬着头皮开始学习这个方法的数学基础。他阅读了提出该方法的原始论文，以及后续一些应用于场论和统计物理的文献。复杂的复分析、微分几何概念让他头晕目眩，但别无选择。他选择了一个尽可能简单的模型——一维 Hubbard 模型在有限化学势下——作为“试验田”，尝试实现硫柱方法。即使对于这个简化模型，计算也异常繁重。他需要编写程序寻找复空间中的临界点，这通常需要用到诸如牛顿-拉夫森法等数值优化算法，并且对初始猜测非常敏感。然后，他需要数值求解梯度流方程，以构造硫柱。
过程充满了挫折。程序常常无法收敛到正确的临界点，或者梯度流方程数值求解不稳定，导致构造出的硫柱不准确。他需要不断调整算法参数，尝试不同的数值积分方法。有时，程序能跑出看似合理的结果，但与已知的精确解或没有符号问题的其他方法结果一对比，却发现存在明显偏差。这意味着他的实践中还有隐藏的错误。
但这一次，张海峰没有像以前那样轻易放弃。或许是多次失败磨砺了他的耐心，或许是他内心深处的不甘被彻底激发。他将每一次失败都详细记录在日志中，分析可能的原因，然后逐一尝试改进。他开始在相关的学术论坛和邮件列表上小心翼翼地向国际同行请教，尽管大多石沉大海，但偶尔一两条有价值的回复，都能让他兴奋半天，并给他新的调试思路。
经过不知多少次的尝试和修改，终于，在一个凌晨，当他再次运行优化后的程序，将得到的一维 Hubbard 模型某些物理量（如双占据数）的结果，与基于贝特拟设的精确解进行比对时，两组曲线在误差范围内基本重合了！
张海峰几乎不敢相信自己的眼睛。他反复检查了输入参数、代码、以及对比数据。确认无误后，一股混杂着狂喜、疲惫和难以置信的复杂情绪瞬间淹没了他。他猛地从椅子上站起来，在狭小的机房里来回走了几步，想欢呼，又强行忍住，最终只是用力挥了挥拳头，低声吼了一句：“他妈的……终于……”
这远非胜利。这仅仅意味着，对于这个简化的一维模型，他的硫柱方法实现很可能是正确的。距离解决他真正关心的、更复杂的二维或更高维强关联模型的负符号问题，还有十万八千里。而且，硫柱方法的计算复杂度随着系统尺寸和相互作用强度急剧增加，能否扩展到有实际意义的模型还是未知数。但这小小的成功，如同在漫长黑暗隧道尽头看到的一星火光，给了他继续前进的勇气和希望。至少，这条路径，在原理上是可行的。剩下的，是优化、扩展、以及无尽的调试。
王哲的进展则体现在实验数据的积累和初步规律的显现上。随着测量数据的不断增加，那个在特定温度、磁场下出现的、类似量子化平台的霍尔电阻信号，其行为模式开始变得清晰。他绘制了详细的相图：以磁场强度为横轴，温度为纵轴（对数坐标），用颜色表示霍尔电阻的数值。在低温、中等磁场区域，一片颜色相对均匀、数值稳定的“平台”区域隐约可见。虽然平台的宽度和精度远不及整数量子霍尔效应那样完美，但在考虑了可能的无序、相互作用等因素后，这已经是一个非常强烈的暗示——可能存在受拓扑保护的、手性的边缘态输运。
更让王哲兴奋的是，当他改变样品的具体参数（如拓扑绝缘体层的厚度、超导近邻效应的强度等）时，这个“平台”区域的位置和大小会发生系统的变化。这与基于理论模型（考虑拓扑绝缘体表面态在超导近邻效应和磁场下的能谱演化）的预期大致相符。他开始系统地分析这些数据，试图提取出平台对应的“霍尔电导”的数值，看看是否接近理论预言的量子化值（e^2/2h，如果有手性 Majorana 边缘态的话），或者至少呈现出与参数相关的规律。
当然，实验从未一帆风顺。不同批次样品之间依然存在差异，某些样品的信号很弱，或者平台特征不明显。低温测量中各种噪声和干扰也时有发生。王哲需要花费大量时间在排除干扰、提高信噪比、以及理解数据涨落上。但他乐在其中，每一次成功获得一组干净的数据，每一次从纷乱的曲线中识别出可能的规律，都带给他巨大的满足感。他开始着手撰写他的第一篇主要实验结果的论文草稿，与导师和高年级博士生反复讨论数据的呈现方式和物理解释。他小心翼翼，既要充分展示支持拓扑边缘态的证据，又要诚实地指出实验的局限性和其他可能的解释。
就在每个人都沉浸在自己的“战役”中，或艰难推进，或初见曙光时，317宿舍那看似平静的表面下，一道细微的裂隙，在无人察觉的角落，悄然生长。这裂隙并非源于激烈的冲突，而是源于日积月累的疏离、压力的无声堆积，以及期望落差带来的心理失衡。它的中心，是周明。
与导师唐世渊教授那次关于研究方向的谈话，显然对周明产生了深远的影响。他并未放弃自己关于“非阿贝尔任意子衍生”的宏大构想，但唐教授的要求——回归更基础、更扎实的工作——像一道无形的枷锁，束缚着他思维的翅膀。他不得不花费大量时间，回头去完善和深化之前关于相互作用对拓扑绝缘体边缘态影响的工作，用更系统的场论方法重新推导，补充更多的计算细节，使其更“扎实”、更“可发表”。这项工作在周明看来，缺乏挑战和新意，更像是“炒冷饭”，但他没有选择。导师的意见，在研究生阶段，往往具有决定性的分量。
然而，心有不甘的火焰并未熄灭。在完成导师要求的“常规”工作之余，周明依然会偷偷地、如饥似渴地阅读那些关于非阿贝尔统计、拓扑量子计算的前沿文献，在笔记本的角落涂画着只有他自己能懂的、关于如何从手性边缘态“构造”出非阿贝尔任意子的草图。这种“精神分裂”式的工作状态，让他感到无比疲惫和分裂。一方面，他要应付导师的期待，做出符合“扎实”标准的成果；另一方面，内心的渴望驱使他去探索那更艰深、更未知的领域，尽管前路渺茫。
这种状态投射到日常生活中，就是更深的沉默、更长时间的独处、以及更易激怒的情绪。他几乎不再参与宿舍里的任何非学术闲聊，即使是关于研究的讨论，只要涉及他自己的课题，他也总是含糊其辞，或者干脆以“还在弄，没什么好说的”搪塞过去。他回宿舍的时间越来越晚，有时甚至通宵待在实验室或通宵自习室。他的桌面上，那些高深的数学物理书籍依旧堆得很高，但他翻阅时，眼神中常常带着一种混合着焦躁与渴望的复杂情绪。
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