第210章 周末数学测验：最后一道大题的解出一半（1/2）

周末的数学测验，气氛比平日课堂更添几分凝重。凌凡稳扎稳打，前面的题目虽有几处小陷阱，但都被他凭借近期锤炼的谨慎一一化解。时间流逝，他的笔尖终于抵达了那份试卷的最终壁垒——最后一道大题。

这道题占据着卷面最显赫的位置，分值高达十五分，题目本身却透着一股简洁的冷峻：

“题目”已知函数定义在全体实数上，其导函数满足某个特定关系式（关系式本身比较复杂，涉及原函数与导函数的组合），且函数在原点处的函数值已知。第一问是证明该函数在某个区间内单调递增；第二问是求解一个关于该函数的不等式。

凌凡快速扫过题目，心脏微微加速。又是导数的综合应用，但这次的形式更为抽象，没有给出具体的函数解析式，只给出了导函数满足的一个方程。这需要他从微分方程的角度去理解函数性质。

他深吸一口气，启动“拆解”心法。

目标：第一问，证明单调性；第二问，解不等式。

条件：导函数满足一个方程，一个初始值。

核心工具：导数与单调性关系，可能涉及解微分方程或利用已知关系式进行放缩、变形。

第一问要求证明单调性。按照常规思路，要证明单调递增，只需证明其导函数在该区间内大于等于零。题目给出了导函数满足的关系式，他尝试对这个关系式进行变形，试图直接判断出导函数的正负。

他设原函数为某个符号，将其导函数满足的方程写在草稿纸上，进行各种可能的代数变形：移项、合并、因式分解……然而，关系式似乎被精心设计过，几次尝试都未能直接分离出导函数，或者分离出来后形式依然复杂，无法直接判断正负。

时间一分一秒过去，凌凡的额头渗出了细密的汗珠。他能感觉到，这条直接证明的道路前方似乎被堵死了。

“转化！” 陈老的心法在脑海中响起。直接判断不行，能否转化证明思路？既然导函数本身的正负难以直接判定，是否可以构造一个辅助函数，通过研究这个辅助函数的单调性，来间接证明原函数的单调性？

这个想法如同一道火光，照亮了黑暗。他仔细观察那个导函数满足的关系式，发现它可以被看作是某个表达式求导后的结果！也就是说，存在一个辅助函数，它的导数正好是原关系式左边的形式，而这个导数根据关系式，可以判断出是大于零的！

“找到了！”凌凡心中低呼一声，压抑住兴奋，立刻着手构造这个辅助函数。他根据关系式的结构，逆向推导出这个辅助函数的可能形式。验证一下，求导，果然！辅助函数的导数恰好满足题目给出的关系式，并且这个导数在指定区间内恒大于零！

这意味着，他构造的辅助函数在该区间内是严格单调递增的。那么，只要能建立起原函数与这个辅助函数之间的单调性联系，问题就迎刃而解了。

他继续推导，发现原函数的导函数，恰好可以表示为这个单调递增的辅助函数与另一个恒正函数的乘积。根据“正数乘以递增函数，若该递增函数在区间起点处非负，则乘积亦非负”的逻辑链条，他成功地证明了原函数的导函数在该区间内大于等于零。

第一问，攻克！

凌凡长长地舒了一口气，一种巨大的智力上的愉悦感冲刷着刚才的紧张。他看了一眼时间，花费了不少，但值得。他迅速将第一问的证明过程工整地誊写到答题卡上。

接下来是第二问：求解一个关于该函数的不等式。

有了第一问的成果，他信心倍增。这个不等式涉及函数值，而第一问已经揭示了函数在某个区间内的单调性。他立刻想到，可以利用函数的单调性来简化不等式！

他将不等式进行移项，变形，试图将其转化为比较两个函数值大小的形式。如果能确定函数在相应区间内的单调性，那么解不等式就会容易很多。

他沿着这个思路深入。利用第一问的结论，他确定了函数在某个关键区间上是单调的。然后，他将不等式的一端看作某个常数的函数值，另一端则与函数的自变量有关。根据单调性，解不等式就转化为了解一个更简单的关于自变量的不等式。

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