第52章 攻克“函数单调性”的思维壁垒（2/2）

第三个番茄钟：实践与修正，他带着这个框架，重新挑战 f(x)= x + 1/x (x ＞ 0)。

1. 定区间： (0, +∞)

2. 取任意： 任取0 ＜ x? ＜ x?

3. 作差变形： f(x?) - f(x?) ……（通分） = (x? - x?) [ 1 - 1/(x?x?) ] （提取公因式(x?-x?)！） ！这一步提取公因式是关键变形！

4. 判符号：

· 由于x? ＜ x?，所以 (x? - x?) ＜ 0。

· 由于x?, x? ＞ 0，所以 x?x? ＞ 0，故 1/(x?x?) ＞ 0。

· 但是，1 - 1/(x?x?) 的符号不确定！ 它取决于x?x?是大于1还是小于1。

卡住了！框架遇到了意外！ 凌凡没有慌乱，他意识到这个函数可能不是在整个(0,+∞)上都单调！他需要分区间讨论！

· 若 0 ＜ x? ＜ x? ≤ 1： 则 x?x? ……。 负 × 负 = 正 ? f(x?) ……减函数

· 若 1 ≤ x? ＜ x?： 则 x?x? ≥ 1 ? 0……。 负 × 非负 = 非正 ? f(x?)……增函数 （注意等号只在x?=x?=1时取，不影响单调性）

5. 下结论：函数f(x) = x + 1/x 在(0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增。

成功了！ 虽然过程曲折，但他严格按照框架，通过关键的代数变形和分区间讨论，独立完成了证明！

这种突破思维壁垒的快感，远比直接看到答案强烈十倍！他不仅仅知道了一个结论，更掌握了一种攻克这类问题的方法论。

他立刻在思维导图的“函数性质-单调性”分支下，详细添加了：

· 核心方法：作差法（五步框架）

· 关键技巧：因式分解、通分、提取公因式

· 易错点：需要分区间讨论的情况

· 图像验证： 他迅速画了下y=x+1/x (x＞0)的图像，确实是一个在x=1处有最小值的“对勾函数”，完美印证了他的证明结果。

从此，单调性这头拦路虎，在他眼中不再可怕。它变成了一种有套路可循的“游戏”：取任意→作差→变形→判号→结论。

逻辑之门的叩击，不仅需要魔法棒来描绘图像， 更需要一把逻辑的锤子和代数的凿子， 去敲碎那些包裹在“任意”、“所有”之中的、 坚硬的思维壁垒。

凌凡擦了一把汗， 看着被攻克的堡垒和更加坚固的思维导图， 满意地笑了。

他知道， 每攻克这样一个概念壁垒， 他离真正的数学自由， 就更近了一步。

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(逆袭笔记·第五十二章心得：攻克抽象数学概念需要建立清晰的思维框架。对于函数单调性：1. 理解‘任意性’：代表普遍性，需用代数证明而非举例。2. 掌握‘作差法’框架：定区间→取任意→作差变形→判符号→下结论。这是证明单调性的通用流程。3. 强化代数变形：因式分解、通分等是判断差式符号的关键手段，需扎实掌握。4. 注意分类讨论：当符号判断取决于变量范围时，必须分区间讨论。将抽象定义转化为具体可操作的步骤，是突破思维壁垒的不二法门。)