无尽的余项（1/2）
第一章 旧纸页上的幽灵
林深第一次见到那个数字，是在祖父留下的樟木箱底。
那是个深秋的午后，梧桐叶把窗棂筛成斑驳的金网，空气里飘着樟木与旧纸张混合的、带着时光霉味的气息。他蹲在老宅的书房里，指尖拂过箱底一卷泛黄的手稿，宣纸被岁月浸得发脆，字迹却依旧清隽，是祖父特有的瘦金体。手稿的末页，没有题跋，没有落款，只有一行墨迹浓得化不开的算式：
\gaa=0....
一串没有尽头的数字，像一条沉默的蛇，盘踞在纸页中央。
林深的呼吸顿了一下。
他是数学系的研究生，主攻数论，对数学常数的熟悉程度，不亚于对自己掌纹的认知。π是圆的灵魂，e是自然的韵律，√2是无理数的第一道闪电，φ是黄金分割的优雅化身——这些数字，都有清晰的身份铭牌，有迹可循，有理可依。
但这个γ，不一样。
它像一个幽灵。
林深的指尖在纸页上轻轻摩挲，那串数字的尾端，祖父画了一个小小的问号，旁边注着一行蝇头小字：“调和之末，自然之始，余韵何在？”
调和。自然。
这两个词像钥匙，咔嗒一声，撬开了记忆的缝隙。林深想起本科时的数分课堂，老教授用粉笔在黑板上写下调和级数的公式，语调缓慢得像在念一首诗：“1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...，这个级数是发散的，它会奔向无穷远。但如果我们给它减去\ln n，当n趋向于无穷大时，这个差值会收敛。收敛到一个常数，就是γ，欧拉-马歇罗尼常数。”
老教授的粉笔顿在黑板上，扬起一层细灰：“迄今为止，我们不知道它是有理数还是无理数，不知道它是不是超越数。它就像数学世界里的一个谜，站在有限与无限的交界处，看着我们。”
当时的林深，只是把γ当作一个普通的常数，记在笔记本上，和π、e列在一起。可现在，祖父手稿上的那串数字，那一个问号，像一根针，刺破了他对这个常数的漠然。
祖父是个老派的数学教师，一辈子浸淫在数字里，退休后便躲在老宅的书房里，与旧书和手稿为伴。林深小时候常看见他坐在书桌前，对着一沓草稿纸写写画画，眉头紧锁，像在和什么看不见的东西较劲。他曾问过祖父在算什么，祖父只是摇摇头，摸了摸他的头：“在找一个数的呼吸。”
那时的林深，听不懂。
直到此刻，他蹲在樟木箱前，指尖触到那行冰冷的数字，忽然明白了祖父话里的深意。
这个γ，是有呼吸的。
他小心翼翼地把手稿叠好，放进随身的背包里。窗外的梧桐叶又落了几片，阳光穿过叶隙，在地板上投下晃动的光斑，像一串跳跃的数字。林深站起身，目光落在书房角落的一个旧书架上，那里摆着祖父的藏书，大多是数学史和数论相关的着作，书脊都被翻得发毛。
他走过去，抽出一本泛黄的《欧拉全集》，书页间夹着一张书签，是一片干枯的银杏叶。书签的背面，祖父用铅笔写着一行字：“欧拉在1735年捕捉到它的影子，马歇罗尼在1790年为它命名。可它的真身，藏在无穷的余项里。”
林深的心，轻轻跳了一下。
无穷的余项。
调和级数的每一项，都是一个具体的数字，\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}……它们像一块块砖石，堆砌出一条通向无穷的路。而\ln n，是这条路上的影子，随着n的增大，影子越来越长，却始终追不上砖石的脚步。两者的差值，就是γ，是这条路尽头的一抹余韵，看不见，摸不着，却真实存在。
林深抱着那本《欧拉全集》，坐在书房的藤椅上，翻开书页。欧拉的手稿，字迹潦草却充满力量，那些公式像一条条奔涌的河流，在纸页上流淌。他看到欧拉计算γ的过程，用的是近似值，一步一步，从有限走向无限，像一个孤独的探险家，在数字的荒漠里跋涉。
“这个常数，是调和级数的灵魂。”林深喃喃自语。
窗外的天色渐渐暗了下来，秋风卷着落叶，敲打着窗棂。林深的目光，又落回背包里的那卷手稿上。祖父花了一辈子的时间，研究这个常数，他到底在找什么？那个小小的问号，到底藏着怎样的秘密？
林深拿出手机，搜索“欧拉-马歇罗尼常数”。屏幕上跳出一连串的词条，大多是数学论文和科普文章，内容大同小异：γ≈0.，未被证明是无理数，未被证明是超越数，在数论、分析学、概率论中都有应用……
没有答案。
祖父的问号，像一个钩子，勾住了林深的好奇心。他站起身，走到书桌前，打开自己的笔记本电脑，指尖在键盘上敲击，屏幕上跳出一行行代码。他要写一个程序，计算γ的近似值，从n=1开始，一步步累加，一步步减去\ln n，看着那个差值，如何慢慢收敛到那个神秘的数字。
夜深了，老宅里很静，只有键盘敲击的声音，和窗外偶尔传来的风声。林深的眼睛盯着屏幕，看着那些数字在屏幕上跳动，从0.5，到0.57，到0.577，到0.5772……数字越来越精确，越来越接近那个幽灵般的常数。
当东方泛起鱼肚白的时候，林深停下了程序。屏幕上显示的数字，已经精确到了小数点后二十位，和祖父手稿上的那串数字，一模一样。
他靠在椅背上，长长地舒了一口气。
窗外的阳光，穿过薄雾，照在他的脸上。林深看着屏幕上的那个数字，忽然觉得，这个γ，不仅仅是一个数学常数。它像一个谜语，一个关于有限与无限、已知与未知的谜语。而祖父，就是那个试图解开谜语的人。
他拿起手机，拨通了导师的电话。
“李教授，”林深的声音带着一丝疲惫，却充满了兴奋，“我想换个研究方向，研究欧拉-马歇罗尼常数。”
电话那头，李教授沉默了片刻，然后笑了起来：“小林啊，这个方向，可是个硬骨头。欧拉啃过，马歇罗尼啃过，无数数学家都啃过，没啃出什么名堂。”
“我知道。”林深的目光，落在窗外的梧桐树上，“但我觉得，它的背后，藏着一些我们还没发现的东西。”
“哦？”李教授的声音里，带着一丝好奇，“说说看。”
“调和级数发散，\ln n趋向于无穷，它们的差值却收敛。”林深的语速越来越快，“这就像，两条奔向无穷的路，它们之间的距离，却始终是一个定值。这个定值，是不是在暗示我们，无穷和有限之间，存在着某种我们还没理解的联系？”
电话那头，又沉默了。
过了一会儿，李教授的声音传来，带着一丝赞许：“有意思。你小子，倒是有你祖父的几分劲头。行，我支持你。不过，记住，研究这个常数，要有耐心。它可能会耗掉你一辈子的时间。”
“我知道。”林深的嘴角，扬起一抹微笑，“我不怕。”
挂了电话，林深站起身，走到窗边，推开窗户。秋风带着凉意，扑面而来，吹起他额前的碎发。他看着远处的天际线，看着太阳一点点升起，把天空染成一片金黄。
他知道，从这一刻起，他踏上了一条漫长的路。一条通向无穷余项的路，一条追寻一个数字呼吸的路。
而那个叫γ的常数，正站在路的尽头，等着他。
第二章 调和级数的迷雾
林深的研究，从图书馆的角落开始。
数学系的图书馆，像一座被时光遗忘的城堡，高大的书架直抵天花板，阳光透过彩色玻璃窗，在地板上投下斑斓的光斑。空气里弥漫着旧书的气息，混杂着墨香和灰尘的味道，安静得能听见自己的心跳。
林深每天都泡在这里，翻阅着那些积满灰尘的数学典籍。从欧拉的《无穷分析引论》，到马歇罗尼的《定积分教程》，再到现代数学家关于γ的论文，他像一只贪婪的书虫，啃食着每一个与γ相关的字符。
他发现，欧拉对γ的研究，始于对调和级数的探索。1735年，欧拉在计算调和级数的前n项和时，发现这个和可以表示为\ln n + \gaa + \varepsilon_n，其中\varepsilon_n是一个趋向于0的余项。这个发现，让调和级数的发散性有了更深刻的内涵——它虽然奔向无穷，但它与\ln n的差值，却被一个常数牢牢束缚住。
马歇罗尼则是第一个系统研究这个常数的数学家，他计算出了γ的前12位小数，并将其命名为“欧拉常数”。后来，数学家们为了纪念他的贡献，将这个常数改称为“欧拉-马歇罗尼常数”。
林深在笔记本上，写下一行又一行的公式：
H_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\fra} = \ln n + \gaa + \fra} - \fra^2} + \fra^4} - ...
这是调和级数前n项和的渐近展开式，后面的项，是越来越小的余项。林深看着这个公式，忽然觉得，γ就像一个锚，把发散的调和级数，锚定在了\ln n的旁边。
他的手指，在公式上轻轻划过。\fra}，\fra^2}，\fra^4}……这些余项，像一层层薄雾，笼罩着γ。要想看清γ的真面目，就必须拨开这些迷雾。
林深决定，从渐近展开式入手。他要计算那些余项，看看它们如何影响γ的近似值，看看当n趋向于无穷大时，这些余项如何消失在无穷的尽头。
他回到宿舍，打开电脑，编写了一个更复杂的程序。这个程序，不仅能计算调和级数的前n项和，还能计算渐近展开式中的各项余项，然后精确地算出γ的近似值。
程序运行起来，屏幕上的数字，像瀑布一样流淌。林深看着那些数字，眼睛都不敢眨一下。
当n=1000时，γ≈0.；
当n=时，γ≈0.；
当n=时，γ≈0.……
数字越来越精确，越来越接近祖父手稿上的那串数字。林深的心跳，也越来越快。
他发现，随着n的增大，渐近展开式中的余项，对γ的影响越来越小。\fra}项，在n=1000时，贡献了0.0005；在n=时，贡献了0.00005；在n=时，贡献了0.000005……它们像退潮的海水，一点点地褪去，露出了γ的真身。
林深把这些数据整理成表格，画成曲线。曲线在坐标系中，先是快速上升，然后逐渐平缓，最后趋向于一条水平的直线——那条直线，就是γ的精确值。
“原来如此。”林深喃喃自语，“余项是调和级数的尾巴，也是γ的面纱。”
他的研究，渐渐有了眉目。但他知道，这还远远不够。他要证明γ是无理数，或者超越数。这才是研究γ的核心问题，也是无数数学家梦寐以求的目标。
林深开始查阅关于无理数证明的文献。他看到，证明一个常数是无理数，通常有两种方法：一种是构造一个无穷级数，证明这个级数的和是该常数，然后通过级数的性质，证明该常数无法表示为两个整数的比值；另一种是利用连分数展开，证明该常数的连分数展开是无限不循环的。
林深尝试用第一种方法。他从调和级数的渐近展开式出发，试图构造一个关于γ的无穷级数，然后分析这个级数的性质。但他很快就遇到了瓶颈——γ的渐近展开式，是一个以\fra}为变量的幂级数，这个级数的收敛速度很慢，而且很难分析其性质。
他又尝试第二种方法，连分数展开。他编写了一个程序，计算γ的连分数展开式。程序运行了很久，屏幕上跳出了一长串数字：
γ=[0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,...]
林深看着这串数字，眉头紧锁。这个连分数展开式，没有明显的规律，既不是周期的，也不是有规律的循环。这说明，γ很可能是无理数，但这只是一个猜测，不是证明。
证明一个常数是无理数，需要严格的数学推导，不是靠猜测就能解决的。
林深感到一阵挫败。他坐在电脑前，看着屏幕上的连分数展开式，心里像堵了一块石头。他想起祖父的手稿，想起那个小小的问号，想起老教授的话：“这个常数，是数学世界里的一个谜。”
难道，这个谜，真的无解吗？
他站起身，走到窗边，看着楼下的梧桐树。树叶已经落光了，只剩下光秃秃的枝桠，在寒风中摇晃。林深的心情，像这深秋的天气一样，灰蒙蒙的。
他拿出手机，想给导师打个电话，倾诉一下自己的烦恼。但他犹豫了一下，又把手机放回了口袋。他知道，研究数学，靠的是耐心和毅力，不是靠抱怨。
他回到书桌前，重新翻开那些文献。他决定换个思路，从数论的角度入手。γ在数论中，有很多重要的应用，比如在素数定理的证明中，γ就扮演了重要的角色。也许，从素数定理出发，能找到证明γ是无理数的线索。
林深开始研究素数定理。素数定理说的是，小于n的素数的个数π(n)，近似等于\fra}。这个定理的证明，用到了调和级数和γ。林深看着素数定理的推导过程，眼睛忽然亮了起来。
他发现，素数定理的余项，和γ的渐近展开式，有着惊人的相似之处。
素数定理的余项是O(\fra^2 n})，而γ的渐近展开式的余项是O(\fra})。这两个余项，都是趋向于0的，但它们的收敛速度不同。
林深的脑海里，闪过一个念头：如果能把素数定理的余项，和γ的渐近展开式的余项联系起来，是不是就能找到γ的性质？
他立刻拿起笔，在笔记本上写写画画。他把素数定理的表达式代入调和级数的渐近展开式，试图找到两者之间的关系。笔尖在纸上划过，发出沙沙的声音，公式像一条条链条，在纸页上串联起来。
时间一点点过去，窗外的天色越来越暗。林深的笔，越写越快，他的眼睛里，闪烁着兴奋的光芒。他发现，素数定理的余项和γ的渐近展开式的余项，确实存在着某种内在的联系。这种联系，就像一条看不见的线，把素数和γ，把数论和分析学，紧紧地联系在了一起。
当他放下笔的时候，窗外已经是繁星满天。林深看着笔记本上的公式，长长地舒了一口气。他知道，自己找到了一条新的路。这条路，也许很漫长，也许很崎岖，但至少，他不再是在黑暗中摸索。
他拿起手机，给导师发了一条短信：“李教授，我好像找到了一点线索，关于γ和素数定理的联系。”
很快，导师回复了：“很好，慢慢来，不要急。数学的美，就在于它的未知。”
林深看着短信，嘴角扬起一抹微笑。他走到窗边，推开窗户，夜风带着凉意，扑面而来。他看着天上的星星，那些星星，像一串串数字，在黑暗中闪烁。
他想起祖父的话：“在找一个数的呼吸。”
他仿佛听到了，那个叫γ的常数，在无穷的余项里，轻轻呼吸的声音。
第三章 祖父的秘密
林深的研究，进入了一个新的阶段。
他把γ和素数定理的联系，写成了一篇论文初稿，发给了导师。李教授看了之后，大加赞赏，说他的思路很新颖，让他继续深入研究，争取把论文发表在核心期刊上。
林深受到了鼓舞，研究的劲头更足了。他每天泡在图书馆和实验室里，像一个上紧了发条的时钟，不知疲倦地工作着。
但他的心里，始终藏着一个疑问——祖父到底在研究γ的什么？他手稿上的那个问号，到底是什么意思？
这个疑问，像一根刺，扎在他的心里，越来越深。
他决定回一趟老宅，看看能不能找到更多的线索。
周末的清晨，林深坐上了回老家的火车。窗外的风景，从城市的高楼大厦，变成了乡村的田野和河流。阳光透过车窗，照在他的脸上，暖洋洋的。
他的手里，拿着祖父的那卷手稿。手稿的纸页，已经泛黄发脆，字迹却依旧清晰。他看着手稿上的那串数字，看着那个小小的问号，心里充满了期待。
两个小时后，火车到站了。林深下了车，坐上了一辆开往老宅的公交车。公交车在乡间的小路上颠簸着，窗外的风，带着泥土和青草的气息。
终于，公交车停在了老宅门口。林深下了车，看着眼前的老宅，心里涌起一阵亲切感。老宅还是老样子，青瓦白墙，木门上挂着一副对联，字迹已经褪色。院子里的那棵老槐树，依旧枝繁叶茂，像一个忠诚的守护者。
林深推开木门，走了进去。院子里很静，只有风吹过树叶的沙沙声。他走到书房门口，推开门，一股熟悉的樟木和旧书的气息扑面而来。
书房里的一切，都和祖父在世时一模一样。书桌、藤椅、书架，甚至连祖父生前用过的那支钢笔，都还放在书桌上。林深走到书桌前，拉开抽屉，里面放着一沓沓的草稿纸，上面写满了祖父的字迹。
他拿起一沓草稿纸，翻了起来。上面全是关于γ的计算，一行行的数字，一个个的公式，密密麻麻，像一群蚂蚁。林深看着这些草稿纸，仿佛看到了祖父伏案工作的身影。
他翻着翻着，忽然，一张夹在草稿纸里的旧照片，掉在了地上。
林深弯腰捡起照片。照片是黑白的，已经有些褪色。照片上，是一个年轻的男人，穿着中山装，站在一所大学的校门口，笑容灿烂。男人的眉眼，和祖父很像，但比祖父年轻很多。
照片的背面，用铅笔写着一行字：“1957年，于燕园，与恩师畅谈γ常数。”
燕园？恩师？
林深的心里，泛起了一阵涟漪。燕园是北京大学的别称，难道祖父年轻时，曾在北大读过书？他的恩师，又是谁？
林深放下照片，继续翻找抽屉里的草稿纸。他想找到更多关于祖父年轻时候的线索，找到那个“恩师”的名字。
他翻了很久，终于，在一沓草稿纸的最看不清字迹，里面的纸页，也已经泛黄。
林深小心翼翼地翻开笔记本。第一页，写着一行字：“师从熊庆来先生，研习数论，1955年秋。”
熊庆来？
林深的呼吸，猛地一滞。
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