虚数的秘密（1/2）

第一章 负数的平方根

林深第一次对虚数产生困惑，是在大二的复变函数课堂上。

窗外的蝉鸣聒噪得厉害，阳光把梧桐叶的影子投在黑板上，晃得人睁不开眼。老教授用粉笔在黑板上写下一行公式，粉笔灰簌簌地落下来：i^2 = -1。

“这个i，就是虚数单位。”老教授推了推鼻梁上的老花镜，声音沙哑却有力，“它的出现，解决了负数不能开平方的难题。在此之前，数学家们认为负数的平方根是不存在的，是‘想象中的数’，所以给它取名为虚数。”

林深坐在靠窗的位置，手里转着一支钢笔，眉头微微皱着。他看着黑板上的那个i，觉得它像一个幽灵。

实数轴上，从负无穷到正无穷，密密麻麻地排列着所有的实数。有理数，无理数，整数，分数，它们都有自己明确的位置，看得见，摸得着。比如1，可以代表一个苹果；比如-2，可以代表零下二度的温度；比如\pi，可以代表圆的周长和直径的比值。

可虚数呢？

i代表什么？它能对应现实世界里的任何东西吗？

林深的目光落在笔记本上，他写下一行字：虚数，是真实的吗？

老教授的声音还在继续：“虚数的出现，是数学史上的一次革命。它把实数轴扩展成了复数平面，让数学的世界变得更加广阔。复数z = a + bi，其中a是实部，b是虚部，每一个复数，都对应复数平面上的一个点……”

林深的思绪却飘远了。他想起高中数学老师说过的话：“虚数是数学家们为了解方程而创造出来的工具，它没有实际意义。”

工具？没有实际意义？

那为什么还要研究它？

下课铃响了，老教授放下粉笔，说了声“下课”，便夹着教案走出了教室。同学们三三两两地收拾着书包，讨论着晚上去哪里聚餐。林深却坐在座位上，一动不动，目光依旧停留在黑板上的那个i上。

“喂，林深，发什么呆呢？”室友拍了拍他的肩膀，“晚上去吃火锅，去不去？”

林深摇了摇头：“你们去吧，我想去图书馆。”

室友撇了撇嘴：“又去图书馆？你都快把图书馆当成家了。”

林深笑了笑，没有说话。他收拾好书包，走出了教室，朝着图书馆的方向走去。

午后的阳光很烈，林深走在树荫下，心里却想着那个虚数单位i。他觉得，这个看似虚无缥缈的数，背后一定藏着什么秘密。

图书馆里很安静，只有空调的嗡嗡声。林深走到数学专区，抽出一本《数学史》，找了个靠窗的位置坐了下来。他翻开书，目光在书页上扫过，寻找着关于虚数的记载。

他看到，虚数的诞生，源于一场解方程的争论。

16世纪，意大利数学家卡尔达诺在解三次方程时，遇到了一个难题。他在求解方程x^3=15x+4时，得到了一个奇怪的解：x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}。

这个解里，出现了负数的平方根\sqrt{-121}。卡尔达诺对此感到困惑不已，他在自己的着作《大术》中写道：“这是一个虚构的数，它没有实际意义，但它却能帮助我们得到正确的实数解。”

后来，另一位意大利数学家邦贝利，在研究卡尔达诺的三次方程解法时，大胆地对\sqrt{-121}进行了运算。他发现，将\sqrt{-121}记作11i，然后进行计算，竟然真的能得到方程的实数解x=4。

邦贝利的发现，让虚数第一次有了实际的应用价值。但在当时，大多数数学家仍然对虚数持怀疑态度，认为它是“无用的虚构”。

直到18世纪，瑞士数学家欧拉的出现，才让虚数真正被数学界所接受。欧拉在研究复数时，发现了着名的欧拉公式：e^{i\theta}=\s\theta+i\sia。这个公式，将指数函数、三角函数和虚数紧密地联系在了一起，被誉为“数学中的天桥”。

林深看着书上的欧拉公式，心里泛起了一阵涟漪。他拿出钢笔，在笔记本上写下这个公式，然后代入\theta=\pi，得到了一个更加神奇的公式：e^{i\pi}+1=0。

这个公式，被称为“上帝公式”。它把数学中最重要的五个常数——0，1，e，\pi，i，完美地结合在了一起，简洁而优美。

林深的心跳，不由得加快了几分。

一个看似虚无缥缈的数，竟然能和这些伟大的常数联系在一起，它怎么可能没有实际意义？

他继续往下看，看到了德国数学家高斯的贡献。高斯引入了复数平面的概念，将复数z=a+bi对应到平面上的点(a,b)，让虚数有了直观的几何意义。从此，虚数不再是一个抽象的概念，而是一个可以看得见的几何对象。

林深合上书，靠在椅背上，长长地舒了一口气。他觉得，自己对虚数的认知，仿佛打开了一扇新的大门。

但他的心里，依然有一个疑问：虚数，在现实世界中，到底扮演着什么样的角色？

他站起身，走到书架前，抽出一本《复变函数与物理应用》。他翻开书，看到了虚数在电磁学、流体力学、量子力学等领域的应用。

比如，在电磁学中，交流电的电流和电压，可以用复数来表示；在流体力学中，流体的速度场，可以用复变函数来描述；在量子力学中，波函数本身，就是一个复值函数。

林深的眼睛，越来越亮。

原来，虚数并不是数学家们凭空创造出来的玩具，它是描述现实世界的重要工具。它就像一个看不见的坐标轴，隐藏在现实世界的背后，支撑着我们对宇宙的理解。

夕阳西下，阳光透过窗户，照在林深的脸上。他收拾好书包，走出了图书馆。天边的晚霞，像一幅绚丽的画卷。林深看着晚霞，心里忽然涌起一个念头：他要去探索虚数的世界，去揭开这个幽灵般的数背后的秘密。

第二章 祖父的旧信

林深对虚数的探索，从图书馆转移到了祖父的老宅。

他记得，祖父的书房里，藏着很多旧书和手稿。祖父是个老派的数学教师，一辈子都在和数字打交道。说不定，在那些旧物里，能找到关于虚数的线索。

周末的清晨，林深坐上了回老家的火车。窗外的风景，从城市的高楼大厦，变成了乡村的田野和河流。空气里，弥漫着泥土和青草的气息。

两个小时后，火车到站了。林深下了车，坐上了一辆开往老宅的公交车。公交车在乡间的小路上颠簸着，林深的心里，充满了期待。

终于，公交车停在了老宅门口。林深下了车，看着眼前的青瓦白墙，心里涌起一阵亲切感。他推开木门，走进院子，看到老槐树的枝叶，在风中轻轻摇曳。

书房的门，虚掩着。林深推开门，一股熟悉的樟木和旧书的气息扑面而来。书房里的一切，都和祖父在世时一模一样。书桌、藤椅、书架，甚至连祖父生前用过的那支钢笔，都还放在书桌上。

林深走到书架前，目光在一排排的旧书上扫过。他看到了很多数学书，有《微积分学教程》，有《数论导引》，还有一些他叫不出名字的外文原版书。

他抽出一本泛黄的《复变函数论》，翻了翻，里面没有什么特别的东西。他又抽出几本，依旧没有找到线索。

林深有些失望，他靠在书架上，叹了口气。难道，祖父的书房里，真的没有关于虚数的痕迹吗？

他的目光，落在了书桌的抽屉上。那个抽屉，是祖父生前最喜欢用的，里面放着他的一些手稿和信件。

林深走过去，拉开抽屉。里面果然放着一沓沓的手稿，还有一些用信封装着的信件。他拿起一沓手稿，翻了翻，都是一些关于初等数学的教案，没有什么特别的。

他又拿起一个信封，信封已经泛黄，上面写着“致吾儿”。林深拆开信封，里面是祖父写给父亲的一封信，内容是叮嘱父亲要好好学习，照顾好自己。

林深把信放回信封，又拿起另一个信封。这个信封上，没有写字，看起来比其他的信封要旧一些。林深拆开信封，里面是一张泛黄的信纸，上面写着一行行的数学公式，还有一些潦草的字迹。

林深的眼睛，一下子亮了起来。

信纸上的公式，全是关于虚数的。有i^2=-1，有欧拉公式e^{i\theta}=\s\theta+i\sia，还有复数平面的示意图。

信纸的末尾，有一行手写的字：“虚数，乃实数之镜，映世间之无形。”

林深的心跳，不由得加快了几分。他拿着信纸，仔细地看着上面的字迹，那是祖父的笔迹，瘦金体，清隽有力。

祖父也研究过虚数？

林深的心里，充满了惊讶和好奇。他继续在抽屉里翻找，又找到了几封类似的信件，都是祖父写给自己的，或者说是祖父的研究笔记。

他把这些信件整理好，坐在书桌前，一页一页地看着。

从这些笔记里，林深了解到，祖父年轻的时候，曾在一所大学的物理系旁听。他对虚数在物理中的应用，产生了浓厚的兴趣。他认为，虚数不仅仅是一个数学工具，更是一种描述宇宙本质的语言。

祖父在笔记里写道：“实数轴描述的是我们能感知到的世界，而虚数轴，描述的是我们感知不到的世界。比如，磁场的方向，电场的相位，这些都是看不见摸不着的，但它们确实存在。虚数，就是连接可见世界和不可见世界的桥梁。”

林深看着这些文字，心里泛起了一阵涟漪。他想起了在图书馆看到的那些关于虚数应用的书籍，想起了电磁学里的交流电，想起了量子力学里的波函数。

原来，祖父早就看透了虚数的本质。

他继续往下看，看到了祖父记录的一个实验。祖父曾经尝试用复数来描述一个简单的电路，他把电流和电压表示为复数，然后通过计算，得到了电路的阻抗。实验的结果，和实际测量的结果，完全一致。

祖父在笔记里写道：“当我看到计算结果和实验结果吻合的时候，我仿佛看到了虚数的光芒。它像一个幽灵，在电路里穿梭，却真实地影响着电流的流动。”

林深合上书，靠在椅背上，长长地舒了一口气。他觉得，自己对虚数的理解，又深了一层。

他站起身，走到窗边，推开窗户。晚风带着凉意，扑面而来，吹起他额前的碎发。他看着院子里的老槐树，看着天边的晚霞，心里忽然涌起一个念头：他要重现祖父的实验，他要亲眼看看虚数的光芒。

第三章 电路里的幽灵

林深的实验，从一个简单的RLC串联电路开始。

他从学校的实验室里，借来了电阻、电感、电容、信号发生器、示波器等器材。他把这些器材带回了老宅的书房，在书桌上搭建起了一个简易的实验台。

RLC串联电路，由电阻R、电感L和电容C串联而成。当交流电通过这个电路时，电路的阻抗Z，可以用复数来表示：Z=R+i(\oga L-\fraega ega是交流电的角频率。

林深的目标，是通过计算和实验，验证复数阻抗的正确性。

他先在笔记本上，写下了电路的参数：电阻R=100\Oga，电感L=0.1H，电容u F。他选择了一个角频率\oga=100rad/s，然后计算出电路的阻抗：

\oga L=100\tis0.1=10\Oga

\fraega C}=\fraes10\tis10^{-6}}=1000\Oga

Z=100+i(10-1000)=100-990i\Oga

然后，他计算出了阻抗的模：|Z|=\sqrt{100^2+(-990)^2}\approx995\Oga

阻抗的幅角：\varphi=\ar(\frac{-990}{100})\approx-84.3^\circ

接下来，他开始搭建电路。他把电阻、电感、电容依次串联起来，然后连接到信号发生器上。他把信号发生器的输出频率调到f=\fraega}{2\pi}\approx15.9Hz，输出电压调到U=10V。

最后，他把示波器的探头，连接到电路的两端，用来测量电路的电压和电流。

一切准备就绪后，林深按下了信号发生器的开关。

信号发生器发出了轻微的嗡嗡声，示波器的屏幕上，出现了两条正弦曲线。一条是电压曲线，一条是电流曲线。

林深看着屏幕上的曲线，心里有些紧张。他调整了示波器的参数，让曲线显示得更加清晰。然后，他测量出了电压的幅值U=10V，电流的幅值I\approx0.01A。

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