黎曼的求和悖论（1/2）

林深在图书馆三楼的数学专区蹲了三个小时，指尖划过《发散级数理论》泛黄的书页时，手机屏幕突然弹出一条学术推送——“黎曼ζ函数与物理世界的暗合：1+2+3+…=-1/12的宇宙学解释”。

他猛地坐直身体，木质座椅与地板摩擦发出刺耳的声响。周围几个埋头刷题的学生投来不满的目光，林深连忙捂住手机，快步走到阅览区角落的僻静位置。屏幕上的公式像一道魔咒：1+2+3+4+…=ζ(-1)=-1/12。

“这不可能。”他下意识地喃喃自语。

林深是南江大学数学系大三学生，偏科严重到专业课绩点接近满分，公共课却常常徘徊在及格线。他对数字有着近乎偏执的敏感，从小学时发现“0.999…=1”的证明时起，就沉迷于数学悖论中那些看似矛盾却暗藏逻辑玄机的命题。但眼前这个结论，还是超出了他的认知边界——无穷多个正整数相加，结果居然是一个负数，还是个分数？

他立刻打开电脑，在知网检索相关文献。第一篇是剑桥大学教授的论文，用黎曼ζ函数解析延拓的方法推导得出结论；第二篇是国内学者的反驳文章，认为这种求和方式违背了“无穷级数收敛”的基本定义，属于“数学诡辩”；第三篇更离谱，某科普博主用简单的代数变换证明：1+2+3+…可以等于任何数。

林深的心跳骤然加快。他拿出草稿纸，开始复刻科普博主的推导过程：

设S?=1-1+1-1+1-…

按照交替级数的逻辑，S?的结果在1和0之间摇摆，但若令S?=1-(1-1+1-1+…)=1-S?，解得S?=1/2。

再设S?=1-2+3-4+5-…

将两个S?相加：

S?+S?=1+( -2+1 )+(3-2)+( -4+3 )+…=1-1+1-1+1-…=S?=1/2，因此S?=1/4。

最后设S=1+2+3+4+5+…

用S减去S?：

S - S?=(1+2+3+4+…)-(1-2+3-4+…)=4+8+12+16+…=4(1+2+3+4+…)=4S

整理得：S - 1/4=4S，解得S=-1/12。

“这一步有问题！”林深用笔圈住“S - S?=4S”的推导过程。他清楚记得，无穷级数的代数运算必须建立在“级数收敛”的前提上，而S?、S?和S都是发散级数，直接进行加减乘除本身就不符合数学规则。就像用零作除数一样，看似逻辑通顺，实则违背了基本定义。

但为什么这种“错误推导”会得出与黎曼ζ函数解析延拓相同的结果？更让他困惑的是，检索到的文献中提到，这个看似荒谬的结论，居然在弦理论和量子场论中有着实际应用——物理学家在计算时空维度时，正是利用了ζ(-1)=-1/12来修正无穷大发散问题。

“林深？你怎么在这里蹲了一下午？”

熟悉的声音打断了他的思绪。林深抬头，看到系里的博士生学姐苏晚抱着一摞参考书站在面前，镜片后的眼睛带着笑意。苏晚是全系公认的“数学天才”，研究方向正是复分析与解析数论，也是林深的学术偶像。

“学姐，你看这个。”林深把草稿纸推到她面前，“1+2+3+…=-1/12，这到底是对是错？”

苏晚拿起草稿纸，快速扫过上面的推导过程，嘴角勾起一抹了然的笑：“这是发散级数的求和问题。严格来说，常规意义上的‘求和’是指部分和的极限，而1+2+3+…的部分和S?=1+2+…+n=n(n+1)/2，当n趋向于无穷大时，S?也趋向于无穷大，所以从收敛性的角度看，这个级数没有和，说它‘等于任何数’都是错误的。”

“那为什么会有-1/12这个结果？还有物理学家在用它？”林深追问。

“这涉及到‘广义求和’的概念。”苏晚拉过一把椅子坐下，拿起笔在草稿纸上写下黎曼ζ函数的定义，“ζ(s)=1??+2??+3??+…，这个级数只有在Re(s)＞1时才收敛。但通过解析延拓，可以把ζ(s)的定义域扩展到整个复平面（除了s=1这个奇点），而ζ(-1)的取值就是-1/12。这里的‘等于’不是常规意义上的求和，而是解析延拓后的函数值。”

林深皱起眉头：“解析延拓……我学复变函数时接触过这个概念，但还是不太明白，为什么要把一个发散级数的‘和’定义为解析延拓后的结果？这难道不是强行赋予的意义吗？”

“不是强行赋予，而是数学和物理发展的必然。”苏晚解释道，“在19世纪，数学家们发现很多发散级数虽然没有常规意义上的和，但在特定领域有着重要应用。比如欧拉当年就用类似你草稿纸上的方法得到了-1/12这个结果，虽然他的推导在现在看来不严谨，但却为后来的解析延拓理论奠定了基础。而物理学家用这个结果，是因为在量子场论中，很多积分会出现无穷大，需要通过‘重整化’的方法消除发散，ζ(-1)=-1/12正是重整化过程中的一个重要工具。”

本章未完，点击下一页继续阅读。