第4章 被忽视的颗粒性（1/2）

二零二三年十二月，哥廷根迎来了一场温和的初雪。细碎的雪花静静飘落，将黎曼庄园点缀得如同童话中的场景。在这银装素裹的冬日里，庄园内举行了一场简单而温馨的婚礼。徐川 与 于倩倩，这两位在艾莎学派临界线攻坚战中相知、相爱、并最终决定携手一生的年轻数学家，在学派全体成员以及少数亲友的见证下，许下了彼此的誓言。没有奢华的排场，唯有弥漫在空气中的真挚祝福、对数学共同的赤诚热爱，以及一种相濡以沫、志同道合的深沉幸福。婚礼上，于倩倩左手无名指上那枚刻有 ζ(1\/2 + it) 的订婚戒指，与徐川腕上那块表盘背面刻着莫比乌斯函数符号 的手表，在雪光映照下微微闪烁，仿佛是他们爱情与事业交织一体的无声宣言。

婚礼后的“蜜月”，这对新人并未选择远行，而是将黎曼庄园那间他们最熟悉的、堆满书籍和草稿的“第七研讨室”当作了爱巢。对他们而言，最极致的浪漫，莫过于在探索真理的道路上并肩前行。窗外是皑皑白雪和静谧的森林，窗内是温暖的灯光、氤氲的咖啡香气，以及两人时而激烈、时而默契的讨论声。他们沉浸在对“二重奏”理论的进一步完善和严格化工作中，试图将徐川那个灵感迸发的构想，夯实成一个坚不可摧的数学框架。

这天下午，徐川站在巨大的白板前，上面画满了示意图和公式。于倩倩则坐在一旁的沙发上，膝上摊开着艾莎的《统一之约》手稿复件和几本厚重的学派历史论文集。两人刚刚结束一场关于“离散轨道 μ_disc 的局部扰动结构”的深入讨论。

徐川用笔尖重重地点在白板上那条代表“离散轨道 μ_disc”的、由无数跳跃点构成的轨迹，语气中带着一种历经深思后的明澈：

“倩倩，回顾我们学派整整一个世纪的努力，从希尔伯特陛下倡导的谱理论 和公理化方法，到格罗腾迪克陛下革命性的概形理论 和上同调工具，再到德利涅陛下辉煌的动机理论 和连续几何的宏大建构……”他的目光扫过书架上那一排排承载着学派荣光的着作，声音沉稳而充满洞察力，“我们不得不承认，学派的主流传统，或者说一种强大的思维惯性，是极度偏爱和致力于发展连续、光滑、全局的数学结构。我们沉醉于流形 的优美曲线、上同调群 的代数和谐、迹公式 的渐近光滑性。在这种‘连续美学’的强势主导下，我们潜意识里，一直将离散的算术对象——素数、零点、格点——视为一种需要被‘驯服’、‘逼近’甚至‘消解’的次要因素或背景噪声。”

他走到书架前，抽出一本德利涅陛下关于“临界线冲锋”早期工作的论文集，翻到关键的一页，手指划过那些精妙的估计式，眼中充满了对前辈工作的敬意，也带着一丝深刻的反思：

“你看德利涅先生的杰作。他将离散的零点计数函数，通过极其精巧的光滑化和截断技巧，构造了一个连续逼近函数 μ_sooth，使得在某种平均意义 或积分意义 下，μ_sooth 能够极其精确地模拟甚至再现 μ_disc 的整体趋势。他证明了，在大尺度 上，连续的几何轨道 μ_t 与这个光滑化的代理 μ_sooth 能够保持近乎完美的同步。这正是他将比例推到45%的基石，是天才的构想！”

徐川停顿了一下，话锋一转，指向问题的核心：“但问题的根源也正在于此！这个策略的成功，依赖于一个关键假设：离散轨道 μ_disc 固有的‘颗粒性’（granurity）及其导致的局部剧烈振荡，是可以通过‘取平均’或‘光滑化’来有效压制、从而在宏观上被忽略的。 然而，”他的声音变得凝重，“我们越来越清晰地认识到，μ_disc 的‘颗粒性’并非随机的、无结构的‘白噪声’！它是由数论本身最深刻的、固有的 算术刚性 所决定的、高度结构化的‘信号’！”

于倩倩放下手中的手稿，走到白板前，接过徐川的话，她的眼神明亮，带着数学史家特有的穿透力：

“川说得对。这就像……”她做了一个形象比喻，“我们试图用一块极其光滑、富有弹性的高级连续布料，去完美包裹一堆具有特定形状、大小和排列规律的离散沙粒。无论这块布料多么高级，包裹技巧多么精妙，沙粒与沙粒之间固有的间隙、沙粒本身的棱角 所产生的微观凹凸不平，是无论如何也无法被彻底‘平滑’掉的。这些‘凹凸’，正是素数分布、丢番图逼近等深层算术规律所导致的本质的不光滑性。德利涅陛下的工作，好比是找到了一种编织工艺，使得这块布料从宏观上看包裹得严丝合缝，但在微观尺度上，沙粒的‘颗粒感’依然顽强地存在着。”

徐川用力点头，在于倩倩比喻的基础上，进一步深入到数学的本质：“更关键的是，我们的研究发现，μ_disc 的这种‘结构性扰动’或‘相位噪声’，并非杂乱无章。 它受到一系列深刻数论问题的支配！比如，”他在白板上快速写下几个公式，

“素数定理的误差项（与黎曼ζ函数零点的分布直接相关！），它决定了 μ_disc 长程振荡的包络；

哥德巴赫猜想 的例外集（即使被证明是有限的，其分布模式）可能影响着 μ_disc 在特定“共振频率”附近的局部相关性；

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