第29章 零点的无穷（1/2）

1920年莱顿的深秋，空气清冷，却沉淀着一种异样的炽热。第二届黎曼讨论会已进行到中期，会场内的气氛如同被不断加压的熔炉。前几日的报告，多为在战争隔绝期间完成的、扎实却略显零散的阶段性成果，它们像是大战过后，散落在战场各处的、仍需仔细擦拭的武器零件，展示着韧性，却尚未展现出决定性的力量。与会者们心中都清楚，本次会议能否真正承载起“在废墟上重建圣殿”的象征意义，需要一项重量级的、能够重新点燃战前那种激情的突破性进展来定鼎。

这份期待，沉重地落在了第三日上午的报告人身上——来自剑桥的戈弗雷·哈代。当哈代迈着他那标志性的、带着几分漫不经心又隐含高傲的步伐走上讲台时，全场瞬间鸦雀无声。他穿着略显旧色的西装，面容比战前清瘦了些，但那双眼睛里的锐利、以及嘴角那抹惯有的、混合着智慧与嘲讽的神情，丝毫未变。他的搭档，约翰·李特尔伍德，则坐在台下第一排，像一座沉默而可靠的堡垒。

没有寒暄，哈代直接切入正题，他的声音清晰而冷静，如同剑桥的溪流冲刷着卵石：

“先生们，我们聚集于此，是为了黎曼猜想。这个猜想断言，ζ函数的所有非平凡零点都位于那条临界线上，Re(s) = 1\/2。”他用粉笔在黑板上重重地画下了那条线，如同划出一道命运的界限。

“证明这个断言的全部，是如此的困难，以至于它可能属于一个遥远的未来，甚至可能超越我们个人的生命尺度。”他停顿了一下，目光扫过全场，仿佛在评估每个人的承受力，“但是，数学的进展，从来不是一蹴而就的。它更像是在黑暗中挖掘隧道，我们从两端同时开工，每一次推进，即使未能贯通，也让我们更确信方向的正确，并丈量出剩余的距离。”

他转过身，在黑板上写下了报告的标题，简洁而有力：《论黎曼ζ函数在临界线上的零点分布》。

“今天，李特尔伍德先生和我，将向诸位报告我们从隧道一端取得的一次实质性推进。”他的语气平静，却带着一种不容置疑的分量，“我们证明了以下定理：黎曼ζ函数在临界线 Re(s) = 1\/2 上，存在无穷多个零点。”

一瞬间，会场静得仿佛能听到烛芯爆裂的细微声响。紧接着，是压抑不住的、海潮般的吸气声和窃窃私语。所有人都明白这个结果的意义！这不是黎曼猜想，但它是对黎曼猜想的一次强有力的支持，是第一个关于临界线本身零点分布的、非平凡的存在性定理！它意味着，那条临界线绝非虚设，它确实是ζ函数零点分布的核心舞台，有无穷多个演员已经就位。这无疑给所有相信黎曼猜想的数学家注入了一剂强心针。

第一部分：战略的转移——从全局到局部，从存在到无穷

哈代没有沉迷于众人的震惊，他立刻开始剖析证明的核心思想。与希尔伯特那种试图构建宏大体系、或者嘉当那种追求几何根源的风格不同，哈代和李特尔伍德的进路是典型的英伦分析学派风格——犀利、巧妙、直指要害。

“黎曼猜想涉及的是零点的精确位置，是一个全局性的定性问题。”哈代阐述道，“而我们的目标，暂时更为谦逊：我们只关心在临界线这一条线上，零点的数量问题，这是一个局部性的定量问题。但‘无穷多’这个定量结果，本身具有重要的定性意义。”

他指出了证明的难点所在：“我们无法直接‘数出’临界线上有多少零点，因为我们没有一个公式能告诉我们零点具体在哪里。我们必须采用一种间接的、分析的方法来证明其集合的无限性。”

第二部分：核心的武器——一个关键积分与相变

哈代揭示了他们证明的魔法核心：一个精心构造的积分表达式。这个积分将一个与ζ函数零点分布密切相关的函数（例如，ζ函数对数导数的某种变换），沿着一条紧邻临界线的路径进行积分。

“秘诀在于，”哈代用粉笔在黑板上画出一条紧贴临界线右侧的垂直线，“我们考虑这个积分，当参数t趋于无穷时的行为。通过精细的估计，我们可以证明，如果临界线上的零点只有有限个，那么这个积分随着t增长，其渐近行为将主要由ζ函数在 Re(s) > 1\/2 区域可能存在的极少数零点（如果黎曼猜想不真，这些零点就可能存在）所主导，其增长将是缓慢的，比如是o(log t)的量级。”

他停顿了一下，制造了一个悬念，然后继续说道：

“然而，”他的声音提高了八度，带着一种发现秘密的兴奋，“通过另一种完全独立的、基于ζ函数函数方程和斯特林公式的复杂计算，我们可以直接证明，这个积分的绝对值实际上随着t增长得非常快，至少是t的量级！”

他在黑板上写下两个尖锐的不等式：

本章未完，点击下一页继续阅读。