第59章 对数运算规律及应用（1/2）

一、对数基本概念

1.1 对数的定义

对数是一种数学运算，是求幂的逆运算。若a^x = N（这里的a称为底数，N称为真数。例如，2^3 = 8，那么log_{2}8 = 3。对数能将复杂的乘方运算转换为简单的乘法，极大方便了计算，在数学与科学领域应用广泛。

1.2 常用对数与自然对数

常用对数是以10为底的对数，记作lg$N$。在科学计算、工程技术等领域常用，方便处理大数。自然对数则是以无理数e（约等于2.）为底的对数，记作lnN。e是自然增长和衰减过程，的重要常数，自然对数在微积分、物理学等，学科中有着重要作用。

1.3 对数的基本性质

负数和零，没有对数，这是因为在a^x = N中，若N为负数或零，则找不到符合，条件的x。对数还有诸多，基本性质，这些性质是研究对数，和解决对数问题的基石，能简化运算，方便我们理解，和应用对数。

二、对数运算等式证明

2.1 证明lgx^y = ylgx

等式lgx^y = ylgx意味着，以10为底数，x的y次方的对数，等于y乘以以10为底数x的对数。设x^y = N，则y = log_xN。根据对数的换底公式，有log_xN = lgN \/ lgx，所以y = lgN \/ lgx。又因为N = x^y，所以y = lgx^y \/ lgx，即lgx^y = ylgx。例如，计算lg8^3，8^3 = 512，lg512 = 2.7095，lg8 = 0.9031，3x0.9031 = 2.7095，结果一致。

2.2 证明lgx\/y = lgx - lgy

等式lgx\/y = lgx - lgy表示，以10为底数，x与y的商的对数，等于x的对数减去y的对数。设x\/y = N，则有x = Ny。根据对数的定义，lgx = lgyN。由对数的积运算，法则知lgyN = lgy + lgN，所以lgx = lgy + lgN，即lgN = lgx - lgy。在实际应用中，如计算lg100\/10，lg100 = 2，lg10 = 1，2 - 1 = 1，lg100\/10 = 1，结果相符。

2.3 证明lgxy = lgx + lgy

等式lgxy = lgx + lgy的含义是，以10为底数，x与y的积的对数等于x的对数与y的对数之和。设xy = N，则有y = N \/ x。由对数的定义知lgy = lg(N \/ x)。根据对数的商，运算法则，lg(N \/ x) = lgN - lgx，所以lgy = lgN - lgx，即lgN = lgx + lgy。在实际计算里，计算lg20x5，lg20 = 1.301，lg5 = 0.699，1.301 + 0.699 = 2，lg20x5 = 2，结果正确。

三、不同对数转换

3.1 常用对数与自然对数转换

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