第54章 关于ln91、ln92、ln93的探讨（1/2）

一、自然对数的概念基础

1.1 自然常数e的定义与性质自然常数约等于2.，是一个无限不循环小数。它可通过当趋近无穷时的极限来定义，在数学中极重要，是自然对数的底数。

1.2 自然对数的数学定义和基本性质自然对数是以为底数的对数，记作。其定义域为，值域为。导数为，积分公式为。与常用对数转换关系为。

二、对数函数的基本性质

2.1 对数函数的定义域和值域对数函数（且）的定义域是正实数集，即。这是因为在指数式中，当时，对于，恒为正数，不存在满足条件的，所以不能取非正数。对数函数的值域为全体实数，这是由于指数函数的值域为，而对数函数是其反函数，定义域与值域互换，故对数函数的值域为。

2.2 对数函数的单调性对数函数（且）的单调性取决于底数的大小。当时，函数在定义域上是增函数，因为底数增大，对应的值也增大，函数值随的增大而增大；当时，函数在定义域上是减函数，此时底数增大，对应的值反而减小，函数值随的增大而减小。

三、计算ln91、ln92、ln93的方法

3.1 使用对数表或计算器计算使用对数表计算ln91、ln92、ln93，需先选对以e为底的对数表，再找到对应单元格，如ln91找行9列1。以计算器计算，则直接输入ln和对应数值即可，若计算器有专门的自然对数键，操作更简便。

3.2 近似公式估算估算ln91、ln92、ln93可借助泰勒展开式，像，将91、92、93代入计算，取前几项可得近似值，项数越多结果越精确。

3.3 利用泰勒级数或迭代方法计算自然对数的泰勒级数展开式为，展开点常选1，控制误差要确定展开项数。迭代方法可先设定初值，然后按迭代公式计算，如，迭代至结果稳定。

四、ln91、ln92、ln93之间的关系

4.1 比较大小比较ln91、ln92、ln93的大小，可利用对数函数的单调性。由于底数e＞1，对数函数在定义域上是增函数，所以ln91＜ln92＜ln93。

4.2 差分规律ln91、ln92、ln93之间的差分规律明显，ln92-ln91与ln93-ln92都等于1。这是由于自然对数的底数e恒定，lnx在x变化1时，函数值的变化量相同，反映了对数函数在自变量变化时的均匀增长特性。

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